Загрузка...Как решать задачи на среднюю скорость
Как решать задачи на среднюю скорость
В ЕГЭ по матматике профильного уровня встречаются задачи на нахождение средней скорости автомобиля, путешественника, бегуна и т.п. В этой статье мы постараемся разобраться со способами решения данного типа зданий. Попробуйте решить следующие задачи:
- Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
- Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
- Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Если у Вас возникает недопонимание, или же вы просто не знаете как решать такие задачи, то данная статья предназначена как раз для Вас!
Средняя скорость объекта
Для начала вспомним формулу, по которой решаются все задачи на движение: ( S=vt ) — пройденный путь равняется произведению скорости и времени. Так вот, средняя скорость равна отношению всего пути ко времени, которое было затрачено на прохождение этого пути. Если перевести на математический язык:
Однако, раз возникла нужда вычислить среднюю скорость, то наверняка она была разной на различных промежутках. Например, Вам необходимо прийти в школу. Сначала вы какой-то путь проезжаете на автобусе, а затем идете пешком. Условно, весь ваш путь можно разделить на 2 промежутка, и на обоих Ваша скорость и время его прохождения будет разной. Поэтому, если в задаче дано несколько промежутков, то мы должны найти общий путь, который равен сумме всех промежутков вашего пути (то есть ( S=S_1+S_2+ldots+S_n ) (где ( n ) — количество путей, на которых скорость была постоянной). Аналогично мы должны вычислить и общее время, которое было затрачено на прохождение всего пути. То есть ( t=t_1+t_2+ldots+t_n ) , причем время вычисляем на каждом промежутке! То есть, запишем математически формулу для нахождения времени на n-м промежутке: ( t_n=dfrac
Решение задач
А теперь, обогатившись некоторой теорией решим первую из предложенных задач:
Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
- По условию задачи мы видим, что автомобиль прошёл сначала одну треть, затем вторую треть и последнюю треть. Значит весь его маршрут состоит из трёх участков. Поэтому удобно обозначить длину всего его пути за ( 3S )
- Теперь нам необходимо выяснить за какое время автомобиль прошёл каждый из этих промежутков (воспользовавшись формулой ( t_n=S_n/v_n ) ). Причем длина каждого из трёх промежутков будет равна S.
- Время, за который был пройдена первая треть: ( t_1=dfrac
<12>) . - Аналогично, найдем время, за которое были пройдены вторая и третья трети всего пути: ( t_2=dfrac
<16>) и ( t_3=dfrac<24>)
Теперь мы знаем длину всего пути ( ( 3S ) ) и сколько времени автомобиль затратил на прохождение всего пути ( ( t=dfrac<9S> <48>) , значит найти среднюю скорость не составит и труда:
Теперь постарайтесь самостоятельно решить оставшиеся две текстовые задачи на нахождение средней скорости, а если не получается, то посмотрите видео-урок
Ответы к текстовым задачам:
- Ответ к задаче №1: 16;
- Задача №2: 38,4;
- Задача №3: 70.
Видео-урок: “Как решать задачу на нахождение средней скорости”:
В данном видео-уроке я покажу, как решаются все три предложенные текстовые задачи на нахождение средней скорости. Также Вы можете сравнить своё решение с моим.
Ответ: 13,3 м/с.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
Извините, а вы не подскажите как решить? В течение первой секунды от начала движения ускорение грузовика было 6,0 м/с², в каждую последующую секунду ускорение убывало на 60%. Какова средняя скорость автомобиля за первые 8 с движения?
Среднюю скорость будем определять по формуле:[
> = frac ]Буду решать из предположения, что в течение каждой секунды ускорение остается постоянным и меняется скачкообразно при переходе к следующей секунде (сомневаюсь, что при другом условии эту задачу вообще можно решить аналитически). Далее приму следующие обозначения: (S_n) – путь за (n)-ую секунду, (upsilon_n) – скорость в начале (n)-ой секунды, (a_n) – ускорение в течение (n)-ой секунды, (tau) – время, равное одной секунде. Сразу отметим, что (upsilon_1=0), а (a_1=6) м/с 2 . Введем коэффициент (alpha=0,4), показывающий во сколько раз изменяется ускорение каждую секунду (если ускорение падает на 60%, значит в следующую секунду ускорение составит 0,4 ускорения в текущую секунду). Запишем формулы для определения пути, пройденное грузовиком в течение каждой из четырех первых секунд движения:[left< begin
= tau + frac<< >> <2>hfill \
= tau + frac<< >> <2>hfill \
= tau + frac<< >> <2>hfill \
= tau + frac<< >> <2>hfill \
endright.]Разберемся сначала с ускорением:[left< begin
= alpha hfill \
= alpha = hfill \
= alpha = hfill \
endright.]Легко заметить, что:[ = > ]Теперь перейдем к скоростям:[left< begin
= + tau = tau hfill \
= + tau = tau + tau hfill \
= + tau = tau + tau + tau hfill \
endright.]Учитывая выражения для ускорения, имеем:[left< begin
= tau hfill \
= tau + alpha tau = tau left( <1 + alpha >right) hfill \
= tau + alpha tau + tau = tau left( <1 + alpha + > right) hfill \
endright.]Так как в скобках сумма первых членов геометрической прогрессии, то можно получить следующую формулу:[ = tau frac< = tau + frac<< >> <2>= frac< > >><2>]Упростим:[ = frac<< >><2>left( >>><<1 – alpha >>> right)][ = frac<< >> <2>cdot frac<<2 – 2 > + > – >><<1 – alpha >>][ = frac<< >> <2>cdot frac<<2 – > – >><<1 – alpha >>][ = frac<< >><2>.frac << + > – 2>>< >]Тогда для первых восьми секунд имеем:[left< begin
= frac<< >> <2>cdot 1 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 2,4 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 2,96 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 3,184 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 3,2736 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 3,30944 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 3,323776 hfill \
= frac<< >> <2>cdot 3,3295104 hfill \
endright.]Путь за первые восемь секунд равен:[S = sumlimits_ ^8 < > = 22,7803264 cdot frac<< >><2>]Средняя скорость равна:[ > = 22,7803264 cdot frac<< >><<2t>>]Численный ответ равен:[ > = 22,7803264 cdot frac<<6 cdot <1^2>>><<2 cdot 8>> = 8,5;м/с = 30,6;км/ч]К сожалению, мой ответ не совпал с ответом, который я нашёл в интернете 
Если найдете ошибку, пожалуйста, сообщитеМожно и наоборот, зная скорость, найти значение расстояния или времени. Например:
S=v*t, где v — понятно что такое,
S — расстояние, которое требуется найти,
t — время, за которое объект прошел это расстояние.
Таким образом вычисляется значение расстояния.
Или вычисляем значение времени, за которое пройдено расстояние:
t=S/v, где v — все та же скорость,
S — расстояние, пройденный путь,
t — время, значение которого в данном случае нужно найти.
Для нахождения средних значений этих параметров существует довольно много представлений как данной формулы, так и всех остальных. Главное, знать основные правила перестановок и вычислений. А еще главнее знать сами формулы и лучше наизусть. Если же запомнить не получается, тогда лучше записывать. Это поможет, не сомневайтесь.
Пользуясь такими перестановками можно с легкостью найти время, расстояние и другие параметры, используя нужные, правильные способы их вычисления.
И это еще не предел!
Мгновенная и средняя скорость
В этом параграфе мы будем рассматривать неравномерное движение. Однако при этом нам пригодится то, что мы знаем о прямолинейном равномерном движении.
На рисунке 4.1 показаны положения разгоняющегося автомобиля на прямом шоссе с интервалом времени 1 с. Стрелка указывает на зеркальце заднего вида, положение которого мы рассмотрим далее более подробно.
Мы видим, что за равные интервалы времени автомобиль проходит разные пути, то есть движется неравномерно.
Уменьшим теперь последовательные интервалы времени в 20 раз – до 0,05 с – и проследим за изменением положения автомобиля в течение половины секунды (это нетрудно сделать, например, с помощью видеосъемки).
Чтобы не загромождать рисунок 4.2, на нем изображены только два положения автомобиля с промежутком времени 0,5 с. Последовательные положения автомобиля с интервалом 0,05 с отмечены положением его зеркальца заднего вида (показано красным цветом).
Мы видим, что когда последовательные равные промежутки времени достаточно малы, то пути, проходимые автомобилем за эти промежутки времени, практически одинаковы. А это означает, что движение автомобиля в течение столь малых промежутков времени можно с хорошей точностью считать прямолинейным равномерным.
Оказывается, этим замечательным свойством обладает любое движение (даже криволинейное): если рассматривать его за достаточно малый промежуток времени Δt, оно очень похоже на прямолинейное равномерное движение! Причем чем меньше промежуток времени, тем больше это сходство.
Скорость тела за достаточно малый промежуток времени и называют его скоростью в данный момент времени t, если этот момент времени находится в промежутке Δt. А более точное ее название – мгновенная скорость.
Насколько малым должен быть промежуток времени Δt, чтобы в течение этого промежутка движение тела можно было считать прямолинейным равномерным, зависит от характера движения тела.
В случае разгона автомобиля это доли секунды. А, например, движение Земли вокруг Солнца можно с хорошей точностью считать прямолинейным и равномерным даже в течение суток, хотя Земля за это время пролетает в космосе больше двух с половиной миллионов километров!
Говоря далее о скорости, мы будем (если это особо не оговорено) подразумевать обычно мгновенную скорость.
? 1. По рисунку 4.2 определите мгновенную скорость автомобиля. Длину автомобиля примите равной 5 м.
Значение мгновенной скорости автомобиля показывает спидометр (рис. 4.3).
Как найти мгновенную скорость по графику зависимости координаты от времени
На рисунке 4.4 изображен график зависимости координаты от времени для автомобиля, который движется по прямолинейному шоссе.
Мы видим, что он движется неравномерно, потому что график зависимости его координаты от времени – это кривая, а не отрезок прямой.
Покажем, как определить по этому графику мгновенную скорость автомобиля в какой-либо момент времени – скажем, при t = 3 с (точка на графике).
Для этого рассмотрим движение автомобиля за столь малый промежуток времени, в течение которого его движение можно считать прямолинейным равномерным.
На рисунке 4.5 показан интересующий нас участок графика при десятикратном увеличении (см., например, шкалу времени).
Мы видим, что этот участок графика практически неотличим от отрезка прямой (красный отрезок). За последовательные равные промежутки времени по 0,1 с автомобиль проходит практически одинаковые расстояния – по 1 м.
2. Чему равна мгновенная скорость автомобиля в момент t = 3 с?
Возвращаясь к прежнему масштабу чертежа, мы увидим, что прямая красного цвета, с которой практически совпадал малый участок графика, – касательная к графику зависимости координаты от времени в данный момент времени (рис. 4.6).
Итак, о мгновенной скорости тела можно судить по угловому коэффициенту касательной к графику зависимости координаты от времени: чем больше угловой коэффициент касательной, тем больше скорость тела. (Описанный способ определения мгновенной скорости с помощью касательной к графику зависимости координаты от времени связан с понятием производной функции. Это понятие вы будете изучать в курсе «Алгебра и начала аиализа».) А в тех точках графика, где угол наклона касательной равен нулю, то есть касательная параллельна оси времени t, мгновенная скорость тела равна нулю.
? 3. Рассмотрите рисунок 4.6.
а) В каких точках графика угол наклона касательной наибольший? наименьший?
б) Найдите наибольшую и наименьшую мгновенную скорость автомобиля в течение первых 6 с его движения.2. Средняя скорость
Во многих задачах используют среднюю скорость, связанную с пройденным путем:
Определенная таким образом средняя скорость является скалярной величиной, так как путь – это скалярная величина. (Иногда во избежание недоразумений ее называют средней путевой скоростью.)
Например, если автомобиль в течение трех часов проехал по городу 120 км (при этом он мог разгоняться, тормозить и стоять на перекрестках), то его средняя скорость равна 40 км/ч.
? 4. Насколько уменьшится средняя скорость только что упомянутого автомобиля, если из-за остановок в пробках общее время движения увеличится на 1 ч?
Средняя скорость на двух участках движения
Во многих задачах рассматривается движение тела на двух участках, на каждом из которых движение можно считать равномерным. В таком случае, согласно определению средней скорости (1), можно записать:
где l1 и t1 – путь и время для первого участка, а l2 и t2 – для второго. Рассмотрим примеры.
Саша выехал из поселка на велосипеде со скоростью 15 км/ч и ехал в течение часа. А потом велосипед сломался, и Саша еще час шел пешком со скоростью 5 км/ч.? 5. Найдите:
а) путь, пройденный Сашей за все время движения;
б) общее время движения Саши;
в) среднюю скорость Саши.В рассмотренном случае средняя скорость оказалась равной среднему арифметическому скоростей, с которыми Саша ехал и шел. Всегда ли это справедливо? Рассмотрим следующий пример.
Пусть Саша ехал на велосипеде в течение часа со скоростью 15 км/ч, а потом прошел такое же расстояние пешком со скоростью 5 км/ч.? 6. Найдите:
а) путь, который Саша прошел пешком;
б) путь, пройденный Сашей за все время движения;
в) общее время движения Саши;
б) среднюю скорость Саши.Рассмотрев этот случай, вы увидите, что на этот раз средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей езды и ходьбы. А если присмотреться еще внимательнее, то можно заметить, что во втором случае средняя скорость меньше, чем в первом. Почему?
? 7. Сравните промежутки времени, в течение которых Саша ехал и шел пешком в первом и втором случаях.
Обобщим рассмотренные выше ситуации.
Рассмотрим сначала случай, когда тело двигалось с разными скоростями в течение равных промежутков времени.
Пусть первую половину всего времени движения тело двигалось со скоростью v1, а вторую половину – со скоростью v2. Можно ли найти среднюю скорость движения на всем участке, если не известны ни общее время движения, ни путь, пройденный телом за все время движения?
Можно: для этого введем обозначения для всех нужных нам величин независимо от того, известны они или неизвестны. Это распространенный прием при решении многих задач.
Обозначим все время движения t, весь путь l, а пути, пройденные за первую и вторую половину времени движения, обозначим соответственно) l1 и l2.
? 8. Выразите через v1, v2 и t:
a) l1 и l2; б) l; в) среднюю скорость.Найдя ответы на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках с разными скоростями в течение равных промежутков времени, то его средняя скорость на всем пути равна среднему арифметическому скоростей движения на двух участках.
Рассмотрим теперь случай, когда тело двигалось с разными скоростями первую и вторую половину пути.
Пусть теперь первую половину всего пути тело двигалось со скоростью v1, а вторую половину – со скоростью v2. Обозначим снова все время движения t, весь путь l, а промежутки времени, в течение которых тело двигалось на первом и втором участке, обозначим соответственно t1 и t2.
? 9. Выразите через v1, v2 и l:
а) t1 и t2; б) t; в) среднюю скорость.Ответив на эти вопросы, вы узнаете, справедливо ли в общем случае утверждение: если тело двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, то его средняя скорость на всем пути не равна среднему арифметическому этих скоростей.
? 10. Докажите, что средняя скорость тела, которое двигалось на двух участках равной длины с разными скоростями, меньше, чем если бы оно двигалось на двух участках с теми же скоростями в течение равных промежутков времени.
Подсказка. Выразите для каждого из двух случаев среднюю скорость через скорости на первом и втором участках и сравните полученные выражения.? 11. На первом участке пути тело двигалось со скоростью v1, а на втором – со скоростью v2. Чему равно отношение длин этих участков, если средняя скорость движения оказалась равной среднему арифметическому v1 и v2?
Дополнительные вопросы и задания
12. Одну треть всего времени движения поезд ехал со скоростью v1, а оставшееся время – со скоростью v2.
а) Выразите пройденный поездом путь через v1, v2 и все время движения t.
б) Выразите среднюю скорость поезда через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 60 км/ч, v2 = 90 км/ч.13. Автомобиль ехал три четверти всего пути со скоростью v1, а оставшийся участок пути – со скоростью v2.
а) Выразите все время движения автомобиля через v1, v2 и весь пройденный путь l.
б) Выразите среднюю скорость движения автомобиля через v1 и v2.
в) Найдите числовое значение средней скорости при v1 = 80 км/ч, v2 = 100 км/ч.14. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 60 км/ч. Сколько времени после этого он должен ехать со скоростью 80 км/ч, чтобы его средняя скорость на всем пути стала равной 66,7 км/ч?
15. Перенесите в тетрадь (по клеточкам) график зависимости координаты автомобиля от времени, изображенный на рисунке 4.4. Считайте, что автомобиль едет вдоль оси x.
а) Определите графически среднюю скорость за 6 с.
б) Используя касательную, определите, в какие примерно моменты времени мгновенная скорость автомобиля была равна его средней скорости за 6 с.16. Тело движется вдоль оси x. Зависимость координаты тела от времени выражается формулой x = 0,2 * t 2 .
а) Выберите удобный масштаб и изобразите график зависимости x(t) в течение первых 6 с.
б) С помощью этого графика найдите момент времени, в который мгновенная скорость тела была равна средней скорости за все время движения.Задача по физике на скорость
Условие задачи противоречит само себе. S1 (длинна первого участка) получается всегда больше чем половина всего пути, такого быть не может. При корректных условиях скоростей задачу можно решить.
Могу выслать решение в общем виде, при корректных данных скоростей. То что условие задачи противоречит само себе легко проверить на примере: предположим весь путь 1000 м, тогда t2=500/50=10c. Тогда S1=1000 м или более. Такого быть не может.
Условие задачи, действительно, не полное. Анализируя условия задач в теме «Средняя скорость», вероятнее всего, задача звучит следующим образом: Муха половину времени пролетела со скоростью 100 м/с, а половину ОСТАВШЕГОСЯ пути со скоростью 50 м/с. Последний участок она пролетела со скоростью 10 м/с. Найти среднюю скорость за все время.
Разделим задачу на две.
Половину пути муха летела со скоростью 50 м/с. Последний участок (вторую половину пути) она пролетела со скоростью 10 м/с. Найти среднюю скорость.
V=S/t=(S_1+S_2)/(t_1+t_2 ) , где t_1=S_1/V_1 ,t_2=S_2/V_2 После преобразований получим известную формулу
V=(〖2V〗_1 V_2)/(V_1+V_2 ).После вычислений получим V=50/3 м/с.Теперь условие задачи будет звучать следующим образом: : Муха половину времени пролетела со скоростью 100 м/с, а вторую половину времени – со скоростью 50/3 м/с . Найти среднюю скорость за все время.
Используем известную формулу для такого условия (Если промежутки времени равны, то средняя скорость вычисляется по формуле среднего арифметического скоростей. Эту формулу легко вывести из формулы средней скорости).
V_ср=(V_1+V_2)/2, V_ср=(100+50/3)/2=350/6=58,3 м/сСредняя скорость равна пути, делённому на общее время, V=S/T. Пишу здесь без индексов, чтобы не запутаться. Сначала рисуем график зависимости скорости от времени, получается три квадрата, обозначаем их площади А; 0,5S; С. По оси абсцисс, кроме нуля, три точки: T/2, t и T. Высоты: 100, 50 и 10. Площади квадратов равны: А=100*T/2; В=50*(t-0,5T)=0,5S (по условию); С=10*(T-t). Выписываем условия: (1) сумма площадей квадратов равна S=A+0,5S+C. (2) А=50S; (3) 0,5S=50(t-0,5T); (4) C=10(T-t). Нам нужно решить систему (1)-(4), она содержит 5 неизвестных, нам нужно найти отношение S/T, получается всего 4 неизвестных на 4 уравнения. Процесс решения: из (4) выражаем t и подставляем в (3); из (1) выражаем С и подставляем туда (2); С подставляем в (5) и так далее, в итоге получаем S/T=275/3=(91+2/3)м/с. Это ответ.
У меня такой же ответ получается если в общем виде решать. (V2*V3+V1*V2):(V2+V3)=91,7 м/c. Но это неверно при данных условиях задачи, посмотрите мой предыдущий пост. И такого значения (>90 м/c) быть точно не может. Т к даже при условии, что половину времени движется со скорость 100 м/c, а оставшуюся часть пути со скоростью 50 м/c, то Vср=75 м/c. А ответ очевидно должен быть меньше
Я согласен, что в условии ошибка. Сейчас проверил площадь последнего квадрата (путь на третьем участке), он получился отрицательным. Нужно в подобных задачах проверять условие положительности (неотрицательности) таких величин, как путь, физические объёмы и т. п., у меня есть задача на переливание жидкости, в которой получается правильный ответ, но некий начальный объём отрицательный.
Согласен, именно из-за того, что в решении путь на третьем участке отрицательный, ответ в задаче получается больше 75м/c. Вы правы
ДОПОЛНЕНИЕ. Задача решения не имеет при указанных числах. Нужно проверять неотрицательность всех величин. При указанном мною ответе путь на третьем участке получается отрицательным.
Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч
ср ср ср ср = 100+180+160 1+2+2 100+180+160 100+180+160 1+2+2 1+2+2 100+180+160 1+2+2 =88 км/час
Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
ср ср ср ср = 1 + 2 + 3 +⋯ 1 + 2 + 3 +⋯ 1 1 1 1 + 2 2 2 2 + 3 3 3 3 +⋯ 1 + 2 + 3 +⋯ 1 + 2 + 3 +⋯ 1 1 1 1 + 2 2 2 2 + 3 3 3 3 +⋯ 1 + 2 + 3 +⋯ 1 + 2 + 3 +⋯
Участки пути нам не даны, но мы можем без труда их вычислить:
Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.
Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.
Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.
Вычисляем скорость:Задача N1
Дядя Петя едет на Камазе по деревне со скоростью 60 км/ч, а по трассе 90 км/ч. Найдите среднюю скорость грузовика на всем пути, если половину всего времени он едет по деревням, а оставшуюся половину по трассе.
Задача N2
Аркадий из дома на рынок шел со скоростью 7 км/ч, купив там большой арбуз, он той же дорогой вернулся домой cо скоростью 3 км/ч. Найдите среднюю скорость Аркаши на всем пути.
Задача N3
Возвращаясь с работы домой, Василич быстрым шагом за 6 минут доходит до остановки «Заводская». Там он, сразу же садится на автобус, и с космической скоростью в 30 км/ч проделывает ¾ всего пути. Затем он выходит на остановке «Юбилейная». От нее до дома всего 1 километр. Это расстояние он опять же проходит быстрым шагом со скоростью 10 км/ч. Определите среднюю скорость Василича на всем пути с работы домой.
- Время, за который был пройдена первая треть: ( t_1=dfrac
